Définition :
Soient deux points distincts \(A,B\in\mathcal C\) d'un cercle de centre \(O\)
Les deux morceaux de part et d'autre de la droite \((AB)\) sont appelés des arcs
Définition :
La grande arc est l'arc qui est du côté du centre \(O\)
Définition :
La petite arc est l'arc qui n'est pas la grande arc
Arc orienté
Définition :
Un arc orienté est un arc dont l'une des extrémités est considérée comme début, l'autre comme fin. Autrement dit dont les sommets forment un couple ordonné
Définition :
On dit que l'arc est positivement orienté (resp. Négativement orienté) si le sens du parcours du début vers la fin de l'arc est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (resp. Le sens des aiguilles d'une montre)
Notation
Un arc est souvent noté \(\overset{\Large\frown}{AB}\)
Souvent, \(\overset{\Large\frown}{AB}\) désigne le petit arc
Caractéristiques
Longueur
Définition :
La longueur \(\ell(\overset{\Large\frown}{AB})\) d'un arc de cercle \(\overset{\Large\frown}{AB}\) est la longueur d'une courbe régulière injective qui la paramètre
(Courbe régulière, Injection)
Mesure
Définition :
La mesure en radian d'un arc \(\overset{\Large\frown}{AB}\) d'un cercle \(\mathcal C(O,R)\) est la longueur de l'arc divisé par son rayon
I.e. $$\overset{\Large\frown}{AB}=\frac{\ell(\overset{\Large\frown}{AB})}R$$
Mesure algébrique/orientée
Définition :
La mesure algébrique (dit aussi orientée) d'un arc est un nombre dont la valeur absolue est la mesure de l'arc et le signe est positif (resp. Négatif) si l'arc est positivement (resp. Négativement) orienté
Propriétés
Relation de Chasles
Relation de Chasles :
Pour les mesures algébriques, $$\overset{\Large\frown}{AB}+\overset{\Large\frown}{BC}=\overset{\Large\frown}{AC}\pmod{2\pi}$$
Lien entre les mesures algébriques du petit arc et du grand arc
Proposition :
Le petit et le grand arc d'une même corde ont la même mesure algébrique modulo \(2\pi\)
Lien avec les longueurs
Proposition :
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux cordes dans un même cercle
Alors si on note \(\overset{\Large\frown}{AB}\) et \(\overset{\Large\frown}{CD}\) les deux petits (resp. Grands) arcs, nous avons les équivalences $${{AB=CD}}\iff{{\overset{\Large\frown}{AB}=\overset{\Large\frown}{CD} }}$$
Proposition :
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux cordes dans un même cercle
Alors si on note \(\overset{\Large\frown}{AB}\) et \(\overset{\Large\frown}{CD}\) les deux petits (resp. Grands) arcs, nous avons les équivalences $${{AB\gt CD}}\iff{{\overset{\Large\frown}{AB}\gt \overset{\Large\frown}{CD} }}\text{ (resp. }{{AB\gt CD}}\iff{{\overset{\Large\frown}{AB}\lt \overset{\Large\frown}{CD} }})$$
(Distance)
